¿Cómo resolver problemas?

Escrito por J.F. Coronel el 1 de marzo de 2014, actualizado el 28 de agosto de 2026

Tras leer el enunciado —aquellos que lo leen entero—, muchos alumnos se lanzan a escribir a toda prisa cualquier ecuación que les suene relacionada con el tema, con la esperanza de despejar de alguna de ellas un valor. A este proceso lo llamo "vomitar fórmulas", y rara vez tiene éxito. El alumno no se mete dentro del problema, en lo que solemos llamar la física del problema: no comprende cuál es su situación inicial ni cuál es su objetivo.

Es una de las carencias más importantes que he encontrado en mis clases. Se trata de una habilidad que, en mi opinión, debería adquirirse antes de llegar a la universidad, pero lamentablemente no ocurre así en demasiados casos, y merece la pena dedicarle un rato.

Para abordar un problema de los que se suelen plantear en las carreras técnicas es necesario seguir un proceso ordenado, compuesto de las siguientes fases:

1. Análisis del enunciado.
2. Planteamiento.
3. Resolución numérica.
4. Análisis crítico de resultados.

La extensión y el trabajo que el alumno debe desarrollar en cada fase dependen del tipo de problema, pero en términos generales su contenido debe ser el siguiente.

Análisis del enunciado

Tras leer con tranquilidad el enunciado completo, el alumno debe separar los datos —variables numéricas conocidas al comienzo del problema— de las incógnitas —variables demandadas por el enunciado y desconocidas inicialmente—. A las incógnitas demandadas por el enunciado las llamaremos incógnitas principales.

Un elemento muy importante es la elección de los nombres matemáticos que se le pondrán a cada uno de los datos y de las incógnitas. Debemos tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Usar las letras asociadas a cada tipo de magnitud de acuerdo con lo que se estudió en la asignatura; por ejemplo, para la temperatura, T. A todos los profesores nos encanta que se use la misma nomenclatura que utilizamos en las clases teóricas.
• Si el enunciado utiliza alguna nomenclatura, debe usarse la misma. Por ejemplo, si el enunciado habla de una superficie 1, su temperatura será T₁.
• Ser coherente en el uso de letras y subíndices, esto es, usar siempre que sea posible los mismos.

Debemos decidir el sistema de unidades que vamos a usar en todo el problema y escribir el valor de todos los datos en el sistema elegido.

Es muy conveniente realizar durante esta fase algún dibujo o esquema que ayude a aclarar en qué consiste el problema. El esquema dependerá mucho de la materia, pero intentar dibujar es el tiempo mejor invertido en la resolución de un problema.

También suelo recomendar reservar un espacio al principio de cada problema para ir anotando las propiedades físicas de las sustancias que aparezcan y que el alumno tendrá que obtener de la documentación que maneje, por ejemplo colecciones de tablas y gráficas.

Planteamiento

Plantear el problema consiste en obtener tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Cada vez que se utilice una ecuación es necesario describir cuál es el principio físico o la ley que la soporta (balance de masa, balance de energía, etc.) y comprobar que se cumplen las hipótesis necesarias para plantearla. Para algunas ecuaciones se debe indicar además a qué región del espacio (volumen de control) o del tiempo se aplica.

Es muy habitual que al plantear nuevas ecuaciones aparezcan incógnitas que no son las directamente demandadas por el enunciado. A estas incógnitas, que llamaremos incógnitas auxiliares, deberíamos añadirlas a la lista que elaboramos al comienzo del problema.

Conviene detenerse aquí a contar: ¿cuántas ecuaciones independientes tenemos y cuántas incógnitas? Cuando el recuento no cuadra, el desajuste es en sí mismo un diagnóstico. Si faltan ecuaciones, casi siempre falta una hipótesis que no hemos hecho explícita, una propiedad que hay que buscar en una tabla o una relación geométrica que no hemos escrito. Si sobran, o bien alguna ecuación es combinación lineal de las anteriores, o bien hemos cometido un error de planteamiento. Es mucho más barato descubrirlo aquí que después de media hora de cálculo.

Es mucho más productivo utilizar en esta fase los nombres de las variables, sin sustituirlas numéricamente.

Resolución numérica

• Si el sistema de ecuaciones es lineal, o se puede reducir a una única ecuación cuadrática, resolverlo.
• Si el sistema de ecuaciones es no lineal, puede resolverse usando una calculadora, un programa de ordenador o planteando una estrategia de resolución iterativa.

En el caso de que el valor de alguna variable proceda de un diagrama, gráfica o tabla a la que tengamos que acceder usando una de las incógnitas del problema, y no dispongamos de su expresión matemática, el proceso de resolución será obligatoriamente iterativo.

Una advertencia sobre las cifras: la precisión del resultado no puede ser mayor que la del dato más pobre que hemos utilizado. Arrastrar ocho decimales a partir de una temperatura leída en un diagrama con dos cifras significativas no añade información, solo apariencia de exactitud.

Análisis crítico de resultados

Tras obtener los valores de las incógnitas, debemos remarcar las incógnitas principales y expresarlas en el sistema de unidades más adecuado para poder analizarlas.

El análisis crítico consiste en comprobar que los valores obtenidos están dentro del rango esperado y en compararlos con cualquier cota lógica que pueda deducirse del propio problema. Algunas comprobaciones que casi siempre merecen la pena:

• Coherencia dimensional. Si la expresión final no tiene las unidades de la magnitud buscada, hay un error garantizado en algún punto anterior.
• Orden de magnitud. ¿Es razonable el valor obtenido para el fenómeno del que estamos hablando? Una potencia térmica de megavatios en una vivienda o un coeficiente de película de 5 W/m²K en convección forzada de agua deberían hacer saltar la alarma.
• Signos y sentidos. Un flujo de calor que sale cuando esperábamos que entrara suele indicar un error en el criterio de signos del balance.
• Casos límite. ¿Qué ocurre con la solución si un espesor tiende a cero, si un caudal se hace muy grande o si dos temperaturas se igualan? El resultado debe degenerar en algo conocido.
• Compatibilidad con los principios. Un rendimiento por encima del de Carnot o un calor transmitido en contra del gradiente de temperatura invalidan el resultado sin necesidad de revisar los cálculos.

Ninguna de estas comprobaciones garantiza que el resultado sea correcto, pero todas son muy buenas detectando que es incorrecto, que es de lo que se trata.

Una reflexión antigua

Este esquema no tiene nada de original. George Polya publicó en 1945 How to Solve It, donde proponía cuatro fases muy parecidas: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida. Que un matemático de mediados del siglo XX y un profesor de ingeniería del XXI lleguemos por caminos distintos al mismo esquema sugiere que la estructura tiene poco que ver con la materia concreta y mucho con cómo funciona el pensamiento cuando se enfrenta a algo que no sabe resolver de memoria.

Este procedimiento ha sido uno de los puntos de partida para el diseño de la aplicación pSolver, de forma que no sea solo una herramienta para resolver problemas, sino que fuerce al alumno, en lo posible, a seguir el procedimiento sugerido en este artículo.

Un ejemplo completo

Veamos el procedimiento aplicado a un problema sencillo.

Un calentador eléctrico de resistencias se instala en la tubería de impulsión de un circuito cerrado de agua que trabaja a una presión de 3 bar. Por él circula un caudal de 0,5 m³/h, medido a la entrada del calentador, que entra a 15 °C y debe salir a 35 °C. Las resistencias tienen una superficie total de 0,3 m² y el coeficiente de película entre ellas y el agua es de 2000 W/m²K. Se estima que un 3 % de la potencia eléctrica consumida se pierde al ambiente a través de las paredes de la tubería. Determinar la potencia eléctrica necesaria y la temperatura superficial de las resistencias.

Análisis del enunciado. Los datos son la temperatura de entrada T_e = 15 °C, la de salida T_s = 35 °C, el caudal volumétrico en la entrada V̇ = 0,5 m³/h = 1,389·10⁻⁴ m³/s, la presión de trabajo p = 3 bar, la superficie de las resistencias A = 0,3 m², el coeficiente de película h = 2000 W/m²K y la fracción de pérdidas f = 0,03. Las incógnitas principales son la potencia eléctrica Ẇ_e y la temperatura superficial de las resistencias T_sup. Trabajaremos en el Sistema Internacional; las temperaturas pueden quedarse en grados Celsius porque solo intervienen en diferencias.

Conviene dibujar el tramo de tubería con una superficie de control que envuelva el calentador, marcar la entrada y la salida del agua, la potencia eléctrica que entra por los bornes y la potencia perdida que sale por las paredes. Con ese esquema delante, el balance se escribe casi solo.

Reservamos también un hueco para las propiedades del agua líquida que habrá que buscar en las tablas: la densidad a la entrada, ρ_e = 999,1 kg/m³ a 15 °C, y el calor específico, c = 4180 J/kgK, tomado a la temperatura media del proceso. Merece la pena fijarse en que la densidad del agua apenas cambia entre 15 y 35 °C, en torno a un 0,5 %, de modo que la elección de la temperatura a la que se evalúa es aquí poco crítica.

Planteamiento. Aparecen enseguida tres incógnitas auxiliares: el caudal másico ṁ, la potencia térmica realmente cedida al agua Q̇ y la temperatura media del agua dentro del calentador T_m. Con las dos principales son cinco, así que necesitamos cinco ecuaciones.

1. Conservación de la masa en régimen estacionario, con el caudal referido a la entrada: ṁ = ρ_e · V̇
2. Balance de energía aplicado al agua dentro del volumen de control, en régimen estacionario, sin trabajo mecánico y despreciando las variaciones de energía cinética y potencial: Q̇ = ṁ · c · (T_s − T_e)
3. Balance de energía en el conjunto del calentador, donde toda la potencia eléctrica se degrada en calor y se reparte entre el agua y las pérdidas: Ẇ_e = Q̇ + f · Ẇ_e
4. Ley de enfriamiento de Newton entre las resistencias y el agua, suponiendo el coeficiente de película uniforme sobre toda la superficie: Q̇ = h · A · (T_sup − T_m)
5. Temperatura media del agua, como media aritmética entre entrada y salida: T_m = (T_e + T_s) / 2

Cinco ecuaciones y cinco incógnitas. Merece la pena reparar en que las dos últimas arrastran hipótesis que no son leyes. La ecuación 5 acepta que la temperatura del agua varía poco y de forma suave a lo largo del calentador; si el salto térmico fuera mucho mayor habría que sustituirla por una diferencia media logarítmica.

Y la ecuación 4 supone que las resistencias ceden su calor únicamente por convección. Aquí el alumno tiene criterio para justificarlo sin que nadie se lo diga: el agua es opaca a la radiación térmica y baña directamente la superficie del elemento, así que no hay un medio transparente a través del cual las resistencias puedan radiar hacia las paredes de la tubería. La hipótesis no es un permiso que concede el enunciado, sino una consecuencia de la física del problema. Conviene escribirla de todos modos, porque en el mismo montaje con aire en lugar de agua dejaría de ser válida.

Resolución numérica. El sistema es lineal y además secuencial, así que se resuelve en cascada sin necesidad de iterar:

• ṁ = 999,1 · 1,389·10⁻⁴ = 0,139 kg/s
• Q̇ = 0,139 · 4180 · 20 = 11 601 W
• Ẇ_e = 11 601 / (1 − 0,03) = 11 959 W
• T_m = (15 + 35) / 2 = 25 °C
• T_sup = 25 + 11 601 / (2000 · 0,3) = 25 + 19,3 = 44,3 °C

Obsérvese que solo hemos podido resolver en cascada porque el coeficiente de película nos lo daba el enunciado. Si hubiera que calcularlo a partir de una correlación evaluada a la temperatura de película, que depende de T_sup, la resolución pasaría a ser obligatoriamente iterativa.

Análisis crítico. Las incógnitas principales son Ẇ_e ≈ 12 kW y T_sup ≈ 44 °C. Repasemos:

• Dimensiones: kg/s · J/kgK · K = W. Correcto.
• Orden de magnitud: para el agua, ρ·c vale unos 4,18·10⁶ J/m³K, es decir 1,16 kWh/m³K. La regla de bolsillo 1,16 · V̇ · ΔT da 1,16 · 0,5 · 20 = 11,6 kW, prácticamente el resultado. Y una resistencia de 12 kW para medio metro cúbico por hora es un equipo perfectamente normal.
• Signos: la temperatura de las resistencias es mayor que la del agua, como debe ser para que el calor fluya hacia ella.
• Casos límite: si las pérdidas fueran nulas, Ẇ_e coincidiría con Q̇, y así ocurre al hacer f = 0. Y si el caudal tendiera a cero, T_sup crecería sin límite: exactamente la razón por la que estos equipos llevan un caudalostato que corta la alimentación si se detiene la circulación.
• Coherencia con los principios: la conversión íntegra de electricidad en calor no vulnera ningún principio, y el calor va del cuerpo caliente al frío.
• Cifras: el enunciado da los datos con dos o tres cifras significativas, de modo que anunciar 11 959,4 W sería fingir una precisión que no tenemos.

Queda una última comprobación, y es la que de verdad hace un proyectista. Las resistencias trabajan a 44 °C, muy por debajo de la temperatura de saturación del agua a 3 bar, que ronda los 133 °C. El margen es amplio, así que no habrá ebullición local sobre el elemento: si la hubiera, las sales precipitarían formando una costra aislante, la temperatura superficial subiría, se formaría más costra y el elemento acabaría quemándose. La densidad de potencia, 11 601 W repartidos en 0,3 m², es de unos 3,9 W/cm², del orden de lo que se admite en resistencias sumergidas en agua precisamente por ese motivo.

El análisis crítico deja así de ser un trámite: el resultado no solo es correcto, sino que nos ha dicho algo sobre el diseño del equipo que el enunciado no preguntaba.